Het ARIMA-model

Als het gaat om workforce management en planning is het voorspellen van personeelsbehoefte veelal een fundamentele uitdaging. Organisaties moeten rekening houden met fluctuaties in vraag, zoals seizoensinvloeden, externe gebeurtenissen en operationele beperkingen. Om organisaties helpen om op basis van historische data en externe factoren betere voorspellingen te maken zijn er diverse tijdreeksmodellen ontwikkeld. Een van de meest toegepaste modellen is het ARIMA-model (AutoRegressive Integrated Moving Average), en de uitbreiding daarvan: ARIMAX (ARIMA with eXogenous variables).
Onderstaand wordt nader ingegaan op beide modellen, hoe dit in de context van workforce planning kan worden toegepast, welke (methodologische) stappen nodig zijn en welke kanttekeningen die bij de modellen kunnen worden geplaatst.

Het ARIMA-model

Het ARIMA-model werd ontwikkeld door Box en Jenkins (1976) en vormt een klassiek raamwerk voor tijdreeksanalyse. Het combineert drie componenten:

1. AR (autoregressief): de waarde van een tijdreeks wordt verklaard door eerdere waarden.

2. I (integrated): trends of niet-stationaire effecten worden verwijderd door differentiatie.

3. MA (moving average): de huidige waarde wordt mede beïnvloed door de som van eerdere schattingsfouten.

De algemene specificatie van een ARIMA(p,d,q)-model is:

$$y_t^{\ast }=c+\sum _{i=1}^p{\varphi }_i{y}_{t-i}^{\ast }+{\epsilon }_t+\sum _{j=1}^q{\theta }_j{\epsilon }_{t-j},y_t^{\ast }\equiv {\mathrm{\nabla }}^d{y}_{\mathrm{t<span\; style="font-family:\; Arial,\; Helvetica,\; sans-serif;\; font-size:\; 33px;\; font-weight:\; bold;"></span>}}$$

waarbij:

• $p$ = orde van het autoregressieve deel (AR),

• $d$ = aantal differentiaties om stationariteit te bereiken,

• $q$ = orde van het moving average-deel (MA).

De differentie-operator wordt gedefinieerd als:

$$\mathrm{\nabla }{y}_t=y_t-y_{t-1},{\mathrm{\nabla }}^d{y}_t=(1-L{)}^d{y}_{\mathrm{t<span\; style="font-family:\; Arial,\; Helvetica,\; sans-serif;\; font-size:\; 33px;\; font-weight:\; bold;"></span>}}$$

waarbij $L$ de lag-operator is en $L y_t = y_{t-1}$

In workforce planning betekent dit dat de vraag naar personeel niet alleen afhangt van de vraag in eerdere perioden, maar ook van de correcties op eerdere voorspelfouten.

Het ARIMAX-model: uitbreiding met exogene variabelen

Het ARIMAX-model breidt ARIMA uit door exogene variabelen ($X$) toe te voegen die invloed hebben op de tijdreeks. Dit is bijzonder relevant in workforce planning, waar externe factoren zoals weer, marketingacties of seizoensgebonden feestdagen de personeelsbehoefte sterk kunnen beïnvloeden.

De algemene formule is:

$$y_t^{*} = c + \sum_{k=1}^{K}\sum_{\ell=0}^{s_k} \beta_{k,\ell} \, x_{k,t-\ell} + \sum_{i=1}^{p}\phi_i y_{t-i}^{*} + \varepsilon_t + \sum_{j=1}^{q}\theta_j \varepsilon_{t-j}, \qquad y_t^{*} = \nabla^{d} y_t$$

waar:

• $x_{k,t-\ell}$ = de waarde van de $k$-de exogene variabele op lag $\ell$

• $\beta_{k,\ell}$ = effect van de exogene variabele

• de rest zoals in ARIMA.

Dit model maakt het mogelijk om personeelsplanning niet alleen te baseren op historische trends, maar ook op externe factoren die de vraag rechtstreeks beïnvloeden.

Toepassing van het ARIMA-model in Workforce Planning: Een stapsgewijze uitleg

Volgens Hyndman en Athanasopoulos (2018) verloopt de toepassing van ARIMA in vijf stappen: (1) data-inspectie en voorbewerking, (2) stationariteit controleren, (3) parameterselectie, (4) schatting van parameters, en (5) validatie. Onderstaand worden deze stappen beknopt toegelicht.

Stap 1: Data-inspectie en voorbewerking

De eerste stap is het verkennen van de data. Dit omvat:

• Het visualiseren van de tijdreeks om trends, seizoensinvloeden en uitschieters te identificeren.

• Het corrigeren van ontbrekende waarden en meetfouten.

• Het kiezen van de juiste frequentie (bijvoorbeeld per uur, dag of maand).

Voorbeeld: een callcenter met pieken in de ochtend en middag gebruikt uurdata, terwijl een ziekenhuis eerder met dag- of maanddata werkt.

Stap 2: Stationariteit controleren en differentiëren

ARIMA veronderstelt een stationaire tijdreeks, wat betekent dat het gemiddelde, de variantie en de autocorrelatiestructuur constant zijn in de tijd. Om stationariteit te bereiken wordt vaak differentiatie toegepast.

De operator voor eerste orde differentiatie is:

$$\mathrm{\nabla }{y}_t=y_t-y_{t-\mathrm{1<span\; style="font-size:\; 16px;\; font-family:\; Arial,\; Helvetica,\; sans-serif;"></span>}}$$

Voor hogere orde differentiatie geldt:

$$\nabla^d y_t = (1-L)^d y_t$$

waarbij $L$ de lag-operator is, zodat:

$$L y_t = y_{t-1}$$

Voorbeeld: personeelsvraag die structureel stijgt door bedrijfsuitbreiding wordt stationair gemaakt door $d=1$ differentiatie.

Stap 3: Parameters $(p,d,q)$ bepalen

Het ARIMA-model wordt gekarakteriseerd door drie parameters:

• $p$: het aantal autoregressieve (AR) termen,

• $d$: het aantal keer dat de reeks is gedifferentieerd,

• $q$: het aantal moving average (MA) termen.

De algemene vorm van ARIMA is:

$$y_t^{\ast }=c+\sum _{i=1}^p{\varphi }_i{y}_{t-i}^{\ast }+{\epsilon }_t+\sum _{j=1}^q{\theta }_j{\epsilon }_{t-j},y_t^{\ast }\equiv {\mathrm{\nabla }}^d{y}_{\mathrm{t<span\; style="font-size:\; 16px;\; font-family:\; Arial,\; Helvetica,\; sans-serif;"></span>}}$$

De waarden voor $p$ en $q$ worden vaak bepaald met behulp van de Autocorrelation Function (ACF) en de Partial Autocorrelation Function (PACF).

Voorbeeld: als de PACF sterk afvalt na lag 1 en de ACF na lag 2, kan een ARIMA(1,1,2)-model geschikt zijn.

Stap 4: Schatting van parameters

Na identificatie worden de modelparameters geschat. Dit gebeurt doorgaans via:

• Maximum Likelihood Estimation (MLE) of

• Least Squares.

De uitkomst is een concreet model dat kan voorspellen hoeveel personeel er nodig is.

Voorbeeld: een ARIMA(1,1,1)-model kan aantonen dat de personeelsvraag vandaag vooral afhangt van zowel de vraag gisteren (AR) als de voorspelfout van gisteren (MA).

Stap 5: Validatie

Een ARIMA-model moet worden gevalideerd om te bepalen of het robuust is en goed presteert bij nieuwe data.

1. Residuenanalyse:
   De residuen moeten willekeurig zijn en geen autocorrelatie vertonen:

$$e_t=y_t-{\widehat{y}}_{\mathrm{t<span\; style="font-size:\; 16px;\; font-family:\; Arial,\; Helvetica,\; sans-serif;"></span>}}$$

2. Out-of-sample forecasting:
   De dataset wordt opgesplitst in een trainingsset en een testset. Het model wordt getraind op de eerste set en getest op de tweede.

3. Evaluatiemaatstaven:
   Veelgebruikte foutmaten zijn:

Mean Absolute Error (MAE):

$$\text{MAE}=\frac{1}{n}\sum _{t=1}^n\mid y_t-{\widehat{y}}_t\mid$$

Root Mean Squared Error (RMSE):

$$\text{RMSE}=\sqrt{\frac{1}{n}\sum _{t=1}^n{(y_t-{\widehat{y}}_t)}^{\mathrm{2<span\; style="font-size:\; 16px;\; font-family:\; Arial,\; Helvetica,\; sans-serif;"></span>}}}$$

Mean Absolute Percentage Error (MAPE):

$$\text{MAPE}=\frac{100}{n}\sum _{t=1}^n\mid \frac{y_t-{\widehat{y}}_t}{y_t}\mid <span\; class="mord"\; style="font-family:\; Arial,\; Helvetica,\; sans-serif;"><span\; class="mfrac"><span\; class="vlist-t\; vlist-t2"><span\; class="vlist-r"><span\; class="vlist"><span\; class="msupsub"><span\; class="vlist-s"></span></span></span><span\; class="vlist-s"></span></span></span></span></span><span\; class="mclose"\; style="font-family:\; Arial,\; Helvetica,\; sans-serif;"><span\; class="delimsizing\; mult"><span\; class="vlist-t\; vlist-t2"><span\; class="vlist-r"><span\; class="vlist-s"></span></span></span></span></span>$$

Voorbeeld: een ziekenhuis test een ARIMA-model op een jaar aan patiënteninstroom. De voorspellingen wijken gemiddeld slechts 8% af (MAPE), wat acceptabel is voor operationele inzet.

Welke kanttekeningen kunnen worden geplaatst bij ARIMA en ARIMAX?

Hoewel zowel ARIMA als ARIMAX krachtige modellen zijn voor workforce forecasting, kunnen er een aantal kanttekeningen worden geplaatst, namelijk:

1. Afhankelijkheid van historische data

Beide modellen zijn sterk gebaseerd op historische tijdreeksen. Wanneer er grote disrupties optreden (bijvoorbeeld een pandemie, economische schokken of beleidswijzigingen), verliezen de modellen voorspellingskracht omdat zulke gebeurtenissen niet in de historische data zitten (Makridakis et al., 2020).

2. Lineaire aannames

Zowel ARIMA als ARIMAX veronderstellen lineaire relaties tussen huidige waarden, eerdere waarden en fouttermen. In werkelijkheid kunnen patronen in personeelsvraag vaak niet-lineair zijn (bijv. door complexe interacties tussen vraagpieken en roosterdynamiek), wat leidt tot beperkingen in nauwkeurigheid (Chatfield, 2003).

3. Stationariteitsvereiste

Beide modellen vereisen dat de tijdreeks stationair is. Dit betekent dat de data vaak moet worden gedifferentieerd om trends of seizoenseffecten te verwijderen. Dit kan de interpretatie moeilijker maken en leidt soms tot informatieverlies (Wei, 2006).

4. Datakwaliteit en granulariteit

Zowel ARIMA als ARIMAX presteren slecht bij ruis, ontbrekende waarden of lage granulariteit. In workforce planning kan dit problematisch zijn wanneer data onvolledig is of op een te hoog aggregatieniveau wordt verzameld (bijvoorbeeld alleen per maand i.p.v. per dag of uur) (Hyndman & Athanasopoulos, 2018).

5. Complexiteit bij ARIMAX

ARIMAX introduceert een extra laag complexiteit doordat er exogene variabelen moeten worden gekozen en gemodelleerd. Onjuiste selectie kan leiden tot overfitting en slechte generaliseerbaarheid (Jalil et al., 2014). Bovendien is er vaak beperkte beschikbaarheid van betrouwbare externe data, wat het praktisch gebruik kan bemoeilijken.

6. Structurele breuken

Beide modellen zijn gevoelig voor structurele breuken in de tijdreeks (bijvoorbeeld een plotselinge beleidswijziging of een permanente verandering in klantgedrag). ARIMAX kan dit deels ondervangen door exogene variabelen mee te nemen, maar ook hier geldt dat onverwachte gebeurtenissen de voorspellingskracht drastisch verminderen (Schlenker & Schonlau, 2015).

7. Rekenintensiteit en expertise

Hoewel ARIMA relatief eenvoudig te implementeren is, vereist een correcte toepassing van beide modellen statistische expertise en voldoende rekencapaciteit voor schatting en validatie. Vooral ARIMAX kan voor niet-experts te complex zijn (Box & Jenkins, 1976; Wei, 2006).

Conclusie

ARIMA en ARIMAX zijn waardevolle instrumenten voor workforce forecasting, maar hun effectiviteit staat of valt met datakwaliteit, juiste modelkeuze en de stabiliteit van de omgeving. ARIMAX biedt een krachtig voordeel door externe variabelen mee te nemen, maar voegt ook extra complexiteit toe. Beide modellen moeten daarom met de nodige voorzichtigheid en kritisch inzicht worden toegepast in workforce planning.

LITERATUUR

1. Box, G. E. P., & Jenkins, G. M. (1976). Time Series Analysis: Forecasting and Control. Holden-Day.
2. Chatfield, C. (2003). The Analysis of Time Series: An Introduction (6th ed.). Chapman & Hall/CRC.
3. Hyndman, R. J., & Athanasopoulos, G. (2018). Forecasting: Principles and Practice (2nd ed.).
4. Jalil, A. R., Mollah, M. N., & Karim, S. (2014). Predicting workforce demand using ARIMAX models. International Journal of Production Economics, 151, 124-134.
5. Makridakis, S., Spiliotis, E., & Assimakopoulos, V. (2020). The M4 Competition: Results, findings, conclusion and way forward. International Journal of Forecasting, 36(1), 54–74.
6. Schlenker, E., & Schonlau, M. (2015). Forecasting patient volumes in hospital emergency departments with ARIMAX time series models. Health Care Management Science, 18(1), 89–99.